随着学科的发展,代数拓扑已经是一个庞大的学科,并与数学各学科领域实现交融贯通;简单的形象描述并不能完全刻画拓扑的前沿发展。

    代数拓扑具有几何、组合、范畴三种属性集于一体的奇妙特征;其内涵主要由同伦论与同调论组成,其中同伦论是代数拓扑的内核。

    代数拓扑的几何属性使得拓扑与几何成为相对论与量子物理的数学基石,并在相关的技术领域取得应用,如量子计算、材料。代数拓扑的组合属性使得它成为理论计算机科学的数学基石;在大数据技术、人工智能等领域已经取得众多成功的应用;以持续同调为主要工具的拓扑数据分析,自其2009年作为研究领域诞生以来,迅猛发展,现在已经成为欧美的热门领域,其应用遍及与大数据相关的各个科技领域。

    冷战时期,不少拓扑与理论物理项目受到美国军方基金支持。在技术竞争趋于激烈的时代,西方往往率先重金支持拓扑的应用,争取争夺技术制高点。例如,在英国,拓扑在数据科学应用的三个项目,每个项目均是500万英镑,单项支持就超过中国整个拓扑学科项目支持的总和。

    代数拓扑的范畴属性使得它又具备与其他数学学科领域知识融通的能力。简单地说,代数拓扑追求基础理论创新,应用拓扑追求基础理论的技术落地;二者相辅相成。

    先从人们比较熟悉的网络说起。这里的网络在数学上叫图,即有些顶点,以及有关联的两个顶点之间用一条或多条边连接起来。过去几十年以来,人们通过网络的刻画成功地解决了大量的重大科技问题;但有很多来自化学、生物、生态、社会等系统,会出现3个或更多顶点群体互动形成的关联性,例如,生命体的基因表达往往多个基因共同表达,工业互联网走向智能化会出现3个或多个的群体互动,人们已经开始移向“超越两两互动的网络”的研究,而且这个趋势将是未来的走向。

    在数学层面,三个顶点形成互动,我们可以想象出现了一个三角形的2-维结构;四个顶点互动,我们可以想象出现了一个四面体的3-维结构,如此下去,会呈现出一个具有高维结构的几何体;这正是代数拓扑中的抽象单纯复形的思想。在大数据的情况下,这种几何体的结构会变得极为复杂。

    人工智能向前发展,人们对事务的认知在深入、数学方法在升级,拓扑视角下的网络已经从低维往高维结构推进;缺乏拓扑支撑下的应用,基石不扎实、上游技术研发能力不足、续航能力不够。

    任何技术源自于基础理论,只有基础理论与技术应用相互推力、形成科技发展的马达,人工智能的发展才会产生驱动力,基础理论创新的“雨点”才会落在广袤的土地上。

    目前,我们在“代数拓扑及其在前沿科技的应用”项目中已经取得了不错的进展。我们按照“基础理论与技术应用双向互动”的思路来推动项目,一方面是推动基础理论的创新(如我们引入了具有应用前景的加权持续同调、持续超图同调等),另一方面通过数据测试来验证我们引入的新的理论方法。以技术应用为导向下,我们在强化代数拓扑基础研究的同时,向技术应用方向扩张与延伸,从这个层面看,我们已经取得了成绩。

    从另外一个角度,现代的科技已经进入“兵团作战”模式,协同能力、学科交叉能力、理论创新与技术落地的合拍能力等的科技战略结构甚至更加本质。从基础理论到技术应用,是一条漫长的路,每一环节都极为关键,只有强强联手,才有可能让好的基础理论落地四处生根。