余生趣潭

中国汉代古算书《九章算术》方程章中的“方程”与现在的方程含义不同，它不是指含有未知数的等式，而是指根据一定规则由数字排列而成的呈方形的程式。

以《九章算术》方程章第一题为例：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何。”

如用现在设未知数列方程的方法，列出的线性（一次）方程组为：

3x+2y+z=39

2x+3y+z=34

x+2y+3z=26

中国古代没有设未知数的习惯，而是直接用算筹将数目列在筹算板或者桌面上。这种算式是按某种比率关系建立起来的数字阵，似乎是分离系数法的体现。

解这个“方程”用的是“直除法”。所谓直除法，就是整行与整行对减。此处方程的建立及消元变换采用位值制，每个数字不必标出它是什么物品的系数，而是用所在的位置表示。《九章算术》方程的表示，相当于列出其增广矩阵，消元过程相当于矩阵变换。

用直除法必然会出现零减去正数的情况。为使运算继续下去，就必须引进负数概念。

《九章算术》所载的“正负术”，就是为解决这一问题而提出的。这是世界数学史上最卓越的成就之一：“正负术曰：同名相除（减），异名相益（加）；正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益；正无入正之，负无入负之。”这也是在世界上第一次讲到了正负数的加减法。

筹算怎样来表示正负数呢？

《晋书》《隋书》“律历志”中有这样的记载：“魏陈留王景元四年（公元263年）刘徽注《九章算术》。”刘徽的《九章算术注》给后人留下了宝贵的数学遗产。刘徽称：“今两算得失相反，要令正负以名之。正算赤，负算黑，否则以邪正为异。”意思是说，同时进行两个运算，若结果得失相反，那就要分别叫作正数和负数，并用红筹代表正数，黑筹代表负数。不然的话，就将算筹斜放和正放来区别。这是世界数学史上第一次突破了正数的范围，也是对负数第一次做出合理解释。

除中国外，世界上对负数概念的建立和使用都经历了一个曲折的过程。

希腊数学注重几何，而忽视代数，几乎没有建立过负数的概念。印度婆罗摩笈多开始认识负数，采用小点或小圈记在数字上面表示负数。对负数的解释是负债或损失，只是停留在对相反数的表示上，尚未将负数参与运算。

欧洲第一个给出负数正确解释的是斐波那契，他在解决一个关于某人的盈利问题时说：“我将证明这问题不可能有解，除非承认这个人可以负债。”

1484年，法国的舒开给出二次方程一个负根。意大利的卡当在1545年区分了正负数，把正数叫作“真数”，负数叫作“假数”，并正式承认了负根，不过，这些思想都没有在欧洲引起足够重视。直到18世纪，有些数学家还认为负数这个比零小的数是不可能的。

负数在西方发展得如此缓慢，而中国却对负数有深刻的认识，这不能不说是中国数学思想的先进。

最后，需要补充一点的是，刘徽还用齐同原理证明了直除法的正确性，而且还创造了互乘相消法，与现今解线性方程组的方法完全一致。

刘徽是中国古代最早的著名数学家。他对《九章算术》齐同术、今有术、割补术的整理阐发，对割圆术、刘祖原理、十进分数的新的数学创造，对《九章算术注》中补第十卷“重差”后，被唐代李淳风在“算经十书”单篇刊出为《海岛算经》，都是中国传统数学的累累硕果。

中国数学大师吴文俊院士对刘徽《海岛算经》重差术有专门的研究著述，对《九章算术》法译本十分赞赏。

（作者系国家教育咨询委员会委员、中国科技馆原馆长）