提到数学和音乐的关系，人们大多会觉得是他们是风马牛不相及的。实则不然，数学和音乐分别作为人类理性和感性认知的代表，数学是以数字为基本符号的排列组合，它是对事物在量上的抽象，并通过种种公式，揭示出客观世界的内在规律；而音乐是以音符为基本符号加以排列组合，它是对自然声音的抽象，并通过联系着这些符号的文法对它们进行组织安排，概括我们主观世界的各种活动。它们最深刻的本质都是利用有限去把握无限。

琴弦上的完美公式

爱因斯坦曾经说过：“我们这个世界可以由音乐的音符组成，也可以由数学公式组成。”这种说法虽然风趣，却也深刻揭示了数学与音乐的统一。

数论之祖——希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯最早揭开数学与音乐关联的面纱：传说在2500年前，毕达哥拉斯偶然经过一家铁匠铺，发现4个铁匠正在打铁，他发现声音极其悦耳进而开始研究。

后来他用以下两个规则试图建立起西洋音乐的音阶：1.由V→2V: 高八度。2.由V→3/2V: 完全五度。基于此规则，可以帮助我们进行乐器的调音：以中央C为基准，设这个音的频率是v, 则高八度的C频率是2V 高八度G的频率是3V。根据以上的规则，G的频率是3/2V。同时，经过反复观察和比较，他发现三根弦的发声的协调性和弦的长度有密切的关系，三根弦的长度比例为3∶4∶6时最为适合。

这是数学与音乐最早建立起联系的记录。基于此，音乐与数学的交响曲开始盛大演奏。

钢琴键盘上的斐波那契数列

斐波那契数列是1、1、2、3、5、8、13、21、34、 55、89 ……其规律是每一项（从第三项起）都是前两项之和。然而，当我们仔细观察键盘上的琴键会发现：从一个C键到下一个C键就是音乐中的一个八度音程，其中共包括13个键，有8个白键和5个黑键，而5个黑键又分成2组，一组有2个黑键，一组有3个黑键，而2、3、5、8、13这一列数，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。

这就是斐波那契数列前几项，正是由于斐波那契数列在音乐作品中所表现出来的暂时的不平衡与局部的不对称，使音乐更具有某种感召力和表现力。

旋律中的黄金分割

我们所熟悉的黄金分割，在数学中的比例关系为较大部分与整体之比等于较小部分与较大部分之比，其比值为0.618。而很多名曲其主题旋律的高潮部分大都被“神奇”地安排在了黄金分割点上。

比如，贝多芬《悲怆奏鸣曲》第二乐章是如歌的慢板，回旋曲式，全曲共73小节。理论计算黄金分割点应在45小节，在43小节处形成全曲激越的高潮，并伴随着调式、调性的转换，高潮与黄金分割区基本吻合。

再如，肖邦的《降D大调夜曲》是三部曲式。全曲不计前奏共76小节，理论计算黄金分割点应在46小节，再现部恰恰位于46小节，是全曲力度最强的高潮所在。由此可见，人类所创造的音乐也有对于黄金分割完美的不懈追求。

音乐是心灵和情感在声音方面的外化，数学是客观事物和逻辑思维高度抽象的产物。正如毕达哥拉斯所说：“音乐之所以神圣而崇高，就是因为它反映出作为宇宙本质的数的关系。”世界上哪里有数，哪里就有美。音乐和数学就如同是抽象王国中盛开的瑰丽之花，经过了岁月的考验与洗礼，愈加灿烂夺目。

（作者系华中农业大学沈婧芳名师工作室成员）